银行应该承担全部的责任。根据相关条例，可以看出存款挂失分为书面挂失和口头或函电形式挂失，但无论哪种挂失，储蓄机构受理后，必须立即停止支付该储蓄存款。
在他人利用伪造身份证进行冒领支取存款时，若未能认真的审查证件、签名的真伪，导致该笔存款被他人支取。
作为储户一旦将钱交给银行，就和银行形成储蓄合同关系，存款便处于银行的控制下，负有保障交易安全，保护储户合法权益不受侵犯的义务。
银行未能提供证据证明该款在他人挂失、冒领时，使用了原主存款时设置的密码，从而证明原主未能妥善履行保管银行密码等相关义务。因此，银行应当承担全部的责任。
【法律依据】《储蓄管理条例》第三十一条，储户遗失存单、存折或者预留印鉴的印章的；
必须立即持本人身份证明，并提供储户的姓名、开户时间、储蓄种类、金额、账号及住址等有关情况，向其开户的储蓄机构书面申请挂失。
在特殊情况下，储户可以用口头或者函电形式申请挂失，但必须在5天内补办书面申请挂失手续。
储蓄机构受理挂失后，必须立即停止支付该储蓄存款；受理挂失前该储蓄存款已被他人支取的，储蓄机构不负赔偿责任。