根据我们国家的法律中的规定在遇到再审请被驳回的情况可以向最高人民检察院提出抗诉。

因为最高人民检察院在我国的法律中规定是可以对各级人民法院和各级人民检察院对于下一级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，如果其中发现相关的裁定或是调解书的内容中发现有损害国家利益、公共利益或是社会利益的情款，就可以提出抗诉。

同样的在各级的人民检察院对于同级的人民法院已经发生法律效力的裁定、判决，中发现了调解书中具有损害国家利益的，损害社会利益的内容，就可以依法向同级的人民检察院提出对于相关裁定或是判决的检察意见，并且发生这样的情况还需要向上一级的人民检察院备案，也可以提请上一级的人民检察院向同级的人民法院提出抗诉。当然也不会是所有的再审申请被驳回都可以向人民检察院提出检察意见或者是抗诉。

相关法律依据：

根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零八条 最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第二百条规定情形之一的，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，应当提出抗诉。

地方各级人民检察院对同级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第二百条规定情形之一的，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，可以向同级人民法院提出检察建议，并报上级人民检察院备案;也可以提请上级人民检察院向同级人民法院提出抗诉。

综上所述，上级人民法院对经终审法院的上一级人民法院依照审判监督程序审理后维持原判或者经两级人民法院依照审判监督程序复查均驳回的申请再审，一般不予受理。申请再审人不服驳回其再审申请的裁定，向作出驳回裁定法院的上一级法院申请再审的，不作为申请再审案件审查处理。